GLI INSIEMI NUMERICI
- Gli insiemi numerici sono: N, Z, Q, R, C
L'INSIEME N
In matematica l'espressione di numeri naturali indica l'insieme N (0,1,2,3,4.....) esso viene fatto corrispondente biunivocamente all'insieme dei numeri interi non negativi (0,+1,+2,+3,+4...) talvolta viene usato per indicare l'insieme dei numeri interi positivi (1,2,3,4....). I numeri hanno due scopi principali: possono essere utilizzati per contenere o per definire un ordinamento.
GLI ASSIOMI
Gli assiomi sono delle assunzioni che sono alla base di una teoria e dalle quali si deduce ogni altra affermazione. I principali sono quelli di Peano essi sono:
1.Esiste un numero naturale,0.
2.Ogni numero naturale ha un numero naturale successore
3.I numeri diversi hanno successori diversi.
4.Lo zero non è successore di alcun numero naturale
5.Ogni sottoinsieme di numeri naturali che contenga lo zero e il successore di ogni proprio elemento coincide con l'intero insieme dei numeri naturali (assioma dell'induzione)
GIUSEPPE PEANO
Giuseppe Peano (Spinetta di Cuneo, 27 agosto 1858 - Cavoretto, 20 aprile 1932) è stato un matematico, logico e glottoteta italiano. Fu l'inventore del latino sine flexione, una lingua ausiliaria internazionale derivata dalla semplificazione del latino classico.
I numeri possono essere suddivisi in: i numeri dall'aspetto ordinale e numeri dall'aspetto cardinale:
ASPETTO ORDINALE: il numero indica quale posto occupa un dato elemento in un insieme ordinato.
ASPETTO CARDINALE: il numero indica quanti sono gli elementi di un insieme senza tener conto di che cosa sono, indica una quantità. Dati due insiemi A e B si dice che sono equipotenti se esiste una funzione biunivoca da A e B.
DEFINIZIONE:
-ZERO (con simbolo 0) la classe (d'equivalenza) dell'insieme vuoto, cioè la classe che contiene tutti gli insiemi equipotenti all'insieme vuoto.
-UNO ( con simbolo 1) la classe ( d'equivalenza) dell'insieme avente come unico elemento l'insieme vuoto, è la classe che contiene tutti gli elementi equipotenti all'insieme vuoto.
-DUE (con il simbolo 2) la classe (d'equivalenza) dell'insieme avente come unico elemento l'insieme vuoto e sottoinsieme vuoto è la classe che contiene tutti gli insiemi equipotenti {all'insieme vuoto,(sottoinsieme vuoto)}.
OPERAZIONI CON I NUMERI NATURALI
ADDIZIONE:
-I due numeri si chiamano addendi.
-il risultato dell'addizione si chiama somma
es. 5 + 2 = 7
SOTTRAZIONE:
-il primo numero si chiama minuendo
-il secondo numero si chiama sottraendo
-il risultato si chiama differenza
es. 7 - 2 = 5
MOLTIPLICAZIONE:
-I due numeri si chiamano fattori
-il risultato si chiama prodotto
es. 5 x 2 = 10
DIVISIONE :
-il primo numero si chiama dividendo
-il secondo numero si chiama divisore
-il risultati si chiama quoziente
es. 10 : 5 = 2
LE PROPRIETA' DELLE OPERAZIONI:
nel' addizione e nella moltiplicazione possiamo avere tre proprietà :
- La proprietà commutativa: la somma o prodotto di due numeri naturali non cambia l'ordine degli addendi o dei fattori.
- La proprietà associativa: la somma o il prodotto di tre numeri naturali non cambia comunque si associano due degli addendi o fattori
- La proprietà distributiva: se si deve moltiplicare un numero per una somma si può moltiplicare quel numero per ciascuno addendo e poi addizionare i prodotti ottenuti.
nella divisione e nella sottrazione possiamo avere una proprietà:
- proprietà invariantiva della sottrazione : la differenza di due numeri naturali non cambia se si aggiunge uno stesso numero (purché sia possibile in N)
proprietà invariantiva della divisione: Il quoziente i due numeri non cambia se entrambi si moltiplicano o si dividono per uno stesso numero diverso da 0 ( purché la divisione sia possibile in N
POTENZE IN N
Esistono 4 regole:
- IL PRODOTTO DI POTENZE CON LA STESSA BASE: il prodotto di due potenze con la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti.
- QUOZIENTE DI POTENZE CON LA STESSA BASE: il quoziente di potenze che ha la stessa base è come esponente la differenza degli esponenti.
- POTENZA DI POTENZA: la potenza di una potenza è una potenza con la stessa base e la somma degli esponenti.
- POTENZA DI UN PRODOTTO O DI UN QUOZIENTE: la potenza di un prodotto o quoziente è uguale al prodotto o quoziente delle potenze con lo stesso esponente dei singoli fattori o termini.
M.C.D. e m.c.m.
Il Massimo Comune Divisore fra due o più numeri naturali diversi da 0 è il più grande fra i divisore comuni.
Il minimo comune multiplo fra due o più numeri naturali, diversi da 0, è il più piccolo fra i multipli comuni, diversi da 0.
Due o più numeri naturali si dicono primi tra loro ( o coprimi ) quando il loro Massimo Comune Divisore è uguale a 1.
L'INSIEME Z
Dato che nell'insieme N la sottrazione non è sempre possibile (es. 17-19) c'è stata la necessita di introdurre un nuovo insieme numerico: l'insieme Z dei numeri relativi. Si associa ai numeri maggiori dello 0 il segno + e ai numeri minori dello 0 il segno -. Indichiamo così l'insieme formato da tutti i numeri ottenuti e dallo zero.
...,-4,-3,-2,-1,0,+1,+2,+3,+4,..
L'insieme Z viene detto insieme dei numeri interi relativi, i numeri preceduti dal segno + si dicono positivi e quelli preceduti dal segno - sono detti negativi.
L'INSIEME Q
Non essendo sempre possibile la divisione anche nell'insieme Z è stato necessario introdurre un terzo insieme numerico: l'insieme Q dei numeri razionali.
L'insieme Q rappresenta l'insieme dei numeri razionali relativi ossia l'insieme di tutti i numeri che possono essere espressi tramite frazione e che sono preceduti da un segno +, negativo - o nullo. Per l'esattezza l'unico elemento di segno nullo è lo 0.
Attenzione quindi a non confondere l'insieme Q dei numeri razionali relativi con l'insieme Q+ dei numeri razionali assoluti.
Quando si parla di insieme Q ci si riferisce ai numeri razionali con segno e quindi possiamo pensare all'insieme Q come quell'insieme dato tra l'unione tra:
- l'insieme Q+ dei numeri razionali assoluti
- l'insieme Q- dei numeri razionali negativi.
L'INSIEME R
L'insieme R dei numeri reali comprende sia i numeri razionali che i numeri irrazionali, ovvero i numeri decimali illimitati. Poiché R comprende anche i numeri razionali possiamo dire che Q è un sottoinsieme di R.
In matematica, un numero irrazionale è un numero reale che non è un numero razionali, cioè non può essere scritto come una frazione a/b con a e b interi e b diverso da 0 (radice quadrata di 2).
L'INSIEME C
Essendo non sempre possibile fare alcune operazioni anche con l'insieme R (es. radice quadrata di -2) è stato introdotto anche l'insieme C dei numeri irreali.
Forma algebrica: a+ib. Con a e b numeri reali e i: radice quadrata di -1